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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS E FUNDAÇÕES
1ª. PROVA – PEF 2401
1ª. Questão (4,5): Considere a estrutura mostrada na Figura 1. Pede-se traçar o diagrama de
momento fletor para as barras AB , BC e CD e o diagrama de força normal para a barra CE.
B
A δ
C
D
a
a
P
a
- ∆θ
+∆θ
E
Figura 1
Dados:
P = 10 kN
a = 4 m
α = 10
∆θ = 20ºC
EI = 10
4 kN.m
2
EA = 10
5 kN
δ = 0.01m
Observações:
- Variação de temperatura somente na barra BC ;
- Desprezar deformação por força normal nas barras AB , BC e CD ;
- Seção transversal das barras AB , BC e CD é retangular de altura h = 0.4 m
2ª. Questão (2,0): O diagrama de forças normais da treliça da Figura 2 é fornecido na
Figura 3. Determinar o deslocamento vertical do nó O , utilizando o Teorema dos Esforços
Virtuais.
C
O
5 a
P
B
δ
A
∆θ 0
4 a
3 a 4 a
3 a
∆θ 0 ∆θ (^0)
5 a 5 a
Figura 2
Dados:
EA = 25x
7 N
P = 50000 N
recalque δ = 7x
coeficiente de variação térmica α = 10
variação de temperatura ∆θ 0 = 10ºC
37500
7500
10000
N (N)
Figura 3
Gabarito
a
. questão:
∑ =^ − + ⋅ =^0
0 M (^) A Pa YD a ⇒ YD = P
0 ;
0 M (^) B = XA ⋅ a = ⇒ 0
0 X (^) A = ;
∑ X^ =^0 ⇒^ X^ D =− P
0 ;
∑ Y^ =^0 ⇒^ Y^ A =− P
0 ;
∑ M^ A =^ −^1 ⋅ a^2 + YD ′⋅ a =^0 ⇒^ YD^ ′=^2 ;
M (^) B = X ′ A ⋅ a = (^0) ⇒ X ′ A = (^0) ;
∑ X^ =^0 ⇒^ =−^2 /^2
X D ;
∑ Y^ =^ −^2 /^2 +^2 + YA ′=^0 ⇒^ YA^ ′=−^2 /^2 ;
B
A δ
C
D
P - ∆θ
+∆θ
0 X A
0 Y A
0 Y D
0 X D
B
A δ
C
D
P - ∆θ
+∆θ
X (^) A E ′
Y (^) A ′^ YD^ ′
X (^) D ′
1
1
+ X 1 ×
Pa
Pa
a 2
2
a 2
2
M 0 M 1
Forcas virtuais: δ M = M 1 , δ N = 1 (barra de treliça)
TEV:
∫ ∫ ∫
= + + dx h
T
dx M EA
N
dx N EI
M
M
α δτ δ δ δ
int
3
1
δτ = (^) ∑δ ⋅ = ⋅−δ =− δ
k =
I k
I ext Rk d
Detalhando
δτ (^) int:
∫ ∫ ∫ ∫
estr estr CE BC
* Mdx h
α( ∆θ) dx EA
dx X EI
(M )
dx X EI
M M
τ (^) 1 1
2 0 1
0 1 int
δ
EI
Pa Pa a
a
EI
dx EI
M M
estr
3 0 1
3
∫
EI
a a a
a
EI
dx EI
(M )
estr (^) 2 3
2 3 0 = = ∫
EA
a dx CEEA
∫
h
a a a h
Mdx h BC
2
1 2
2 α θ 2 α θ 2 α∆ θ =−
∫
δτ (^) int = δτ ext ⇒
kN
EA
a
EI
a
h
a
EI
Pa
X 17 , 652
3
3 2
δ
α θ
Diagramas:
M
(kN.m)
-17,
N
(kN)
P
2 P
a a
P
P
a
2 P
2 P
2 P
2 a
F = Pm 2
4 Pa
2 a
Pa
Pa
M
a)
3
3
m m m
F P P Pa F P k k (^) EI EI a
= Þ d = = = =
b) wC =?
T.E.V.: dt (^) i dte
=
m m C est
M F
Mdx F w EI k
d + d = ×
ò
momentos fletores virtuais
m força virtual na mola
M
F
d
d
para carregamento dP 1
üï ï ý = ï ïþ
δ P= 1
Nota: e 2
m m
M F
M F
P P
d = d = =
Portanto:
3 2 2 ( )(2 )(3) (4 )(2 4 ) (2) 6 6 3
C
a a Pa w Pa a Pa a EI EI EI
3
C^13
Pa w EI
