PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG) – LISTA-RESUMO
Definição de PG
Entenderemos por progressão geométrica (PG) qualquer
sequência de números reais ou complexos, onde cada termo
a partir do segundo é igual ao anterior, multiplicado por
uma constante denominada razão.
Exemplos:
◊ (1, 2, 4, 8, 16, 32, ... ) → PG de razão 2
◊ (5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, ... ) → PG de razão 1
◊ (100, 50, 25, ... ) → PG de razão
1
2
◊ (2, -6, 18, -54, 162, ...) → PG de razão -3
Fórmula do Termo Geral
Seja a PG genérica:
(
)
1234
n
a , a , a , a , ... , a , ...
, onde a
1
é
o primeiro termo, e a
n
é o n-ésimo termo, ou seja, o termo
de ordem n. Sendo q a razão da PG, da definição podemos
escrever:
⋅
=
2 1
a a
q
(
)
= = ⋅ ⋅ = ⋅
2
3 2 1 1
a a . q a q q a q
(
)
= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅
2 3
4 3 1 1
a a q a q q a q
Infere-se daí que
−
⋅=
1
1
n
n
a a
q
que é denominada fórmula
do termo geral da PG. Genericamente, poderemos escrever
−
⋅=
n k
nk
a a q
Exemplos:
A) Dada a PG (2, 4, 8,... ), calcule o seu décimo termo.
Solução:
Temos: a
1
= 2, q = 2. Para calcular o décimo termo, ou seja,
a
10
, usamos a fórmula:
= ⋅ = ⋅ = =⋅ ⇒
9 9
10 1 10
2 2 2 512 1024
a a q a
B) Sabe-se que o quarto termo de uma PG crescente é igual
a 20 e o oitavo termo é igual a 320. Qual a razão desta PG?
Solução:
Temos
= =
4 8
20 e 320
a a .
Logo, podemos escrever:
−
= ⋅
8 4
8 4
a a q
.
Ou seja,
= ⋅
4
320 20
q
.
Dessa forma,
= =
4 4
16 2
q .
Simplificando os expoentes, conclui-se, que
=
2
q .
Propriedades Especiais
◊ Dados 3 termos, consecutivos numa PG, podemos
escrevê-los como
x
, x, xq
q
, onde
q
é a razão da PG.
◊ Por essa propriedade, é possível concluir que dados
(
)
1 2 3
a , a , a
temos:
⋅
=
2
2 1 3
a a
a
Mais Propriedades
◊ Em toda PG, um termo é a média geométrica dos termos
equidistantes dele ou, mais facilmente, dos termos
imediatamente anterior e posterior a ele. Ou seja,
considerando a PG (A, B, C, D, E, F, G), temos então:
B
2
= A ∙ C; C
2
= B ∙ D; D
2
= C ∙ E; E
2
= D ∙ F
◊ O produto dos termos equidistantes dos extremos de uma
PG é constante. Ou seja, se considerarmos uma PG (A, B, C,
D, E, F, G), então vale que:
A ∙ G = B ∙ F = C ∙ E = D ∙ D = D
2
Soma dos n Primeiros Termos de uma PG
Seja a PG
(
)
1 2 3 4
n
a , a , a , a , ... , a , ...
.
Para o cálculo da
soma dos n primeiros termos
n
S
,
podemos utilizar a
fórmula que segue.
(
)
−
−
⋅
=
1
1
1
n
n
a q
q
S
Exemplo: Calcule a soma dos 10 primeiros termos da PG (1,
2, 4, 8, ...)
Solução:
Note que, neste caso,
=
1
1
a
e a razão é
=
2
q .
Daí temos:
− −
= = =
−
10
10
2 1024 1
1023
2 1 1
1
S .
Soma dos termos de uma PG decrescente e ilimitada
Considere uma PG ilimitada (infinitos termos) e
decrescente. Nestas condições, podemos considerar que no
limite teremos
=
0
n
a .
Substituindo na fórmula anterior,
encontraremos
∞
=
−
1
1
a
S
q
Exemplo:
Resolva a equação
+ + + + + =
100
2 4 8 16
⋯
x x x x
x .
Solução:
Note que o 1º membro é uma soma dos termos de uma PG
razão
1
2
onde
=
1
a
x.
É óbvio, a soma vale 100. Logo,
substituindo na fórmula, temos:
=⇒=⇒ ⇒ ==
−⋅100 100 100
1 1
1
50
2
1
2 2
x x
x x
Produto dos n primeiros termos de uma PG
Sendo
(
)
1 2 3
,
, , ,
n
a a
a a
⋯
uma PG de razão
,
q
o produto
n
P
de todos os valores da PG será dado por:
( )
= ⋅
1
n
n n
P a a
