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Um espaço vetorial é um conjunto de vetores. As oito propriedades devem ser satisfeitas, além de duas operações: soma e multiplicação por escalar. Considerando dois vetores quaisquer de um espaço vetorial V, a soma deles deve ser um terceiro vetor que ainda faz parte de V. Se multiplicarmos um vetor de V por um escalar, o resultante também deve ser elemento de V.
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:
Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) não pertence a W. Produto: α(3, 1) = (3α, α) não pertence a W ≠ 1, assim não é válido para todo α Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial.
Em resumo, um espaço vetorial real é um conjunto V, não vazio, com duas operações:
- Soma:
- Produto por escalar:
=> Se α é escalar e
, então
Assim, i) Soma: 3,1 + 5,1 = (8,2) não pertence a W. Produto: α(3, 1) = (3α, α) não pertence a W ≠ 1, assim não é válido para todo α Logo, W não é um conjunto fechado em relação a essas duas operações e, portanto, não é um espaço vetorial.
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Um espaço vetorial é uma entidade formada pelos seguinte elementos:
- Um https://pt.wikipedia.org/wiki/Corpo_(matem%C3%A1tica%29 {\displaystyle K,}
ou seja, um https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto dotado de duas operações internas com propriedades distributivas, https://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento_inverso, etc. cujos elementos serão chamados de https://pt.wikipedia.org/wiki/Escalar.https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial#cite_note-callioli-47-4https://pt.wikipedia.org/wiki/Espa%C3%A7o_vetorial#cite_note-Noble-85%E2%80%9386-1 Os números reais, em relação à adição e multiplicação, são um exemplo de corpo.
- Um https://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto {\displaystyle V}
dotado de uma https://pt.wikipedia.org/wiki/Opera%C3%A7%C3%A3o_bin%C3%A1ria (representada aqui pelo sinal {\displaystyle +}
) de {\displaystyle V\times V}
em {\displaystyle V.}
Os elementos de {\displaystyle V}
- Uma operação {\displaystyle \cdot }
de {\displaystyle K\times V}
em {\displaystyle V.}
- {\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
para {\displaystyle u,v,w\in V}
(https://pt.wikipedia.org/wiki/Associatividade)
- Há um elemento {\displaystyle 0}
∈ {\displaystyle V,}
tal que, para cada {\displaystyle v}
∈ {\displaystyle V,}
(existência de https://pt.wikipedia.org/wiki/Elemento_neutro)
- Para cada {\displaystyle v}
∈ {\displaystyle V}
(existência de elemento oposto)
- Para cada {\displaystyle v,u}
∈ {\displaystyle V,}
(comutatividade)
- Para cada {\displaystyle a,b}
∈ {\displaystyle K}
e cada {\displaystyle v}
(associatividade da multiplicação por escalar)
- Se {\displaystyle 1}
é a unidade de {\displaystyle K,}
(existência do elemento neutro em {\displaystyle V}
- Para cada {\displaystyle a}
∈ {\displaystyle K}
(distributiva de um escalar em relação à soma de vetores)
- Para cada {\displaystyle a,b}
(distributiva da soma de escalares em relação a um vetor)
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