Formas Cuadráticas
Hola, en este video vamos a ver qué son las formas cuadráticas y cómo se pueden clasificar.
En primer lugar, vamos a definir una transformación que ahora vaya de un espacio Rn a R, es decir, voy a tomar vectores y lo voy a transformar en números reales.
Las formas cuadráticas se utilizan, van a ser expresiones de este tipo.
Voy a partir de un vector y le voy a asignar en R una expresión de este tipo: x vector, x vector es un vector que en este caso este… esta forma de escribirlo significa que estoy hablando de su traspuesto, x prima es el transpuesto de x por una matriz A por x.
Esto es lo que se conoce como una forma cuadrática x prima por A por x donde x prima es la traspuesta del vector x y A va a ser una matriz que sea simétrica.
Entonces, la forma cuadrática se puede escribir de esta manera: un vector x traspuesto que aca lo estoy escribiendo como vector fila, una matriz A cuadrada simétrica y nuevamente el vector x sin trasponer.
Esto es lo que se conoce como forma cuadrática y es de mucha utilidad cuando, por ejemplo, queremos trabajar en conceptos de probabilidad estadística.
Generalmente dejamos a la expresión de esta manera sin resolver los productos ya que resulta más cómodo de trabajar.
Si resolviéramos estos productos, estas formas cuadráticas justamente toman un vector y le asignan un número real porque si resuelvo todas estas operaciones termino obteniendo este polinomio, termino este obtenido un polinomio que define una forma cuadrática que son ecuaciones de segundo grado.
Tenemos variables que están elevadas al cuadrado, en este caso están designadas como x1, x1, x2 pero podrían ser x, y o x, y, z más comúnmente y tenemos coeficientes que son los de la matriz simétrica A.
Entonces vamos a ver en este vídeo que podemos partir de una forma cuadrática y obtener su polinomio o al revés tener un polinomio querer escribirlo en forma cuadrática.
Para hacer eso, vamos a tener en cuenta que los coeficientes de los cuadrados de este polinomio los coeficientes de x1 el cuadrado, x2 al cuadrado hasta xn el cuadrado, etcétera, son justamente esos coeficientes son los elementos de la diagonal principal de la matriz simétrica, son estos elementos.
Y además, si queremos conocer la matriz supongamos que conocemos el polinomio y queremos conocer la matriz lo que vamos a hacer es tomar el coeficiente aij, supongamos este coeficiente de x1 y x2, x1 por x2, lo vamos a dividir por dos y lo vamos a colocar en los elementos opuestos de la matriz simétrica.
Así por ejemplo, si queremos tomar el a1… queremos encontrar la matriz y tomamos el a1n, lo vamos a dividir por dos y lo vamos a colocar uno aquí y otro aquí en los lugares correspondientes de la matriz simétrica.
Si vemos un ejemplo de cómo sería esta transformación.
Tenemos esta matriz A y queremos
encontrar cuál será su polinomio correspondiente, es decir, tenemos la forma, es una matriz simétrica.
Tenemos la… podremos escribir la forma cuadrática simplemente escribiendo x prima A x, multiplicando por un vector y resolver todos estos productos y hallar el polinomio pero queremos hacerlo de forma más rápida teniendo la matriz simétrica y buscando directamente el polinomio que lo define.
Ese polinomio, lo voy a escribir como estoy teniendo una matriz con tres por tres, el polinomio va a hacer un polinomio de tres variables.
¿Cómo lo voy a obtener?.
Bueno, los coeficientes de las variables al cuadrado, los coeficientes de x cuadrado, y cuadrado y z cuadrado de esos términos en el polinomio van a ser los elementos de la diagonal principal.
Vamos a suponer que a estas columnas las llamamos x, y, z y a estas filas también las llamamos x, y z, es decir que contienen los coeficientes de x, y, z.
Entonces de la diagonal principal sacó los coeficientes de las variables al cuadrado.
Voy a tener uno por x al cuadrado, menos uno por y el cuadrado y cero para z cuadrado.
¿Y qué pasa con los coeficientes de los restantes términos, de los términos del polinomio donde tengo equipo x por y, y por z, etcétera?.
Bueno, voy a tomar por ejemplo este elemento está en la fila de x columna de y y el elemento que tengo también en esta fila, en la que corresponde como es una matriz simétrica son el mismo elemento, también es la columna de x y la fila de y, es decir, son los elementos del término que multiplica a x, y.
Los voy a sumar uno más uno y me dará por resultado x, y, va a ser,,, me va a dar por resultado dos y va a ser el coeficiente del término que contenga a xy.
Entonces si yo quiero obtener el coeficiente del término xy buscó su correspondiente valor en esa fila y columna de la matriz y los sumo dos veces, ¿por qué los sumo dos veces?.
Porque corresponde a los dos lugares iguales de la matriz simétrica.
Ahora sí quiero el coeficiente de xz, voy a usar dos y dos, los sumo porque están repetidos dos veces, eso en un polinomio se sumarían esos términos porque son términos semejantes, dos más dos y le coloco las variables xz.
Y me está faltando el último, tres y tres, van a hacer la suma de los coeficientes para, en este caso, el término yz.
Entonces, si resuelvo y dejo esto bien expresado estoy obteniendo el polinomio x cuadrado, menos y cuadrado más bueno, z cuadrado por cero se anula y aquí obtengo dos xy, cuatro xz y seis yz.
Esa es la forma la ecuación de segundo grado que queda definida por esta matriz.
Si tuviera ahora, en este otro ejemplo, al revés, tuviera el caso al revés, un polinomio que quiero encontrar su matriz asociada, encontrar su matriz simétrica que define ese polinomio.
Lo que voy a hacer es escribir, voy a tratar de escribir entonces la matriz A asociada a este polinomio.
En los coef… en la diagonal principal voy a tener los coeficientes de las variables al cuadrado tres, menos uno, dos, tres, menos uno y dos y en los restantes elementos voy a tomar cada valor, por ejemplo, cada coeficiente que yo tenía en xy lo voy a dividir por dos y lo voy a colocar en la columna de x y en la columna de y como estaba en el ejemplo anterior en donde tenía xy sumaba dos veces, aquí lo dividiré por dos porque este se reparte tanto para el coeficiente de xy como para el de yx de la matriz simétrica.
Es decir que aquí voy a colocar esta es la columna de x, de y de z, está de x, de y, y de z así que cinco que corresponde al coeficiente de xy va a ser cinco medios para este espacio y cinco medios para este espacio.
Luego tengo el coeficiente menos seis para xz, será menos tres para este espacio y menos tres para este espacio, lo divido por dos, lo divido en dos y como no tengo yz, corresponde a valores cero.
Entonces de esta manera, obtuve la matriz A que define a esta forma cuadrática.
En realidad podrían existir muchas matrices que admitan esta forma cuadrática, es decir, podríamos haber deducido más matrices de manera que si yo realizo el producto de un x prima cualquiera por A por x me de esta misma forma cuadrática, pero nos interesan… pero en particular nos interesan las matrices que sean simétricas por sus fáciles manejo y sus propiedades interesantes.
Entonces podríamos haber obtenido más matrices A, sí pero no simétricas, simétricas solamente esta.
Tal vez existan otras matrices que verifiquen esta igualdad pero nos interesa la matriz que sea simétrica en este caso.
Estas formas cuadráticas se pueden clasificar y vamos a ver cómo es esa clasificación.
Tenemos una forma cuadrática Q definida de Rn en R.
Se pueden clasificar como definidas positivas, Q va a ser una forma cuadrática definida positiva que la vamos… lo vamos a escribir de esta manera, si esa forma cuadrática es mayor que cero para todos los x.
Será definida negativa, la llamaremos definida negativa que lo vamos a resumir de esta manera, si esa forma cuadrática menor que cero.
Será semidefinida positiva si es mayor o igual que cero, semidefinida positiva, lo escribiremos de esta manera.
Semidefinida negativa si es menor o igual que cero y será indefinida si existen valores de x, del vector x que pertenece a Rn, de manera que la forma cuadrática para algunos valores de x tome valores negativos y para otros positivos, es decir, no son ni todos positivos ni todos negativos.
En ese caso, la forma cuadrática se clasifica como indefinida.
Muchas veces es de mucha utilidad trabajar con matrices que sean, por las propiedades que presentan, definidas positivas o semidefinidas positivas.
Si vemos un ejemplo, en este caso tenemos tres formas cuadráticas, es sencillo clasificar a las formas cuadrática en definidas positivas, negativas, indefinidas, etcétera si solamente tenemos los elementos que… los términos al cuadrado.
En este caso, por ejemplo tengo tres formas cuadrática donde solamente tengo los términos cuadráticos.
Esta va a ser una forma cuadratica definida positiva porque estoy teniendo los tres coeficientes principales de las variables al cuadrado todos positivos.
Esta será una forma cuadrática definida negativa ya que todos sus coeficientes son negativos y ésta será indefinida, ya que algunos son positivos y otros negativos.
De esta forma es sencillo.
El problema se presenta cuando no solo tengo los términos cuadráticos sino que también tengo los términos xy o yz, es decir, los términos que… donde tengo multiplicadas más de una variable.
En esos casos vamos a recurrir a otros métodos para clasificar esas formas cuadráticas.
