¿Qué Son los Números Complejos?
Hola, en este vídeo veremos qué son los números complejos.
Los números complejos surgen como una extensión del conjunto de los números reales, cuando no se pueden resolver ecuaciones como x cuadrado más uno igual a cero, si despejamos x, obtendremos una expresión del tipo raíz cuadrada de menos uno.
Como sabes, esto no pertenece a los números reales y no tiene solución en este conjunto numérico, por lo que es necesario definir un nuevo conjunto numérico que se conoce como números complejos, donde expresiones como este tipo: raíz cuadrada de menos uno tienen solución.
También veremos que este conjunto numérico presenta solución para todas las raíces de índice par de números negativos como raíz de menos cuatro, raíz sexta de menos ocho, etc.
Un número complejo entonces será definido como todo par ordenado de números reales.
A un número complejo… al conjunto de los números complejos lo designaremos con la letra C y a los pares ordenados que pertenecen a él, se designarán como (a,b), donde a es un número real y b también es un número real.
A un complejo lo definiremos normalmente… lo definiremos comúnmente con la letra Z e indicaremos sus componentes entre paréntesis (a,b).
A se conoce como componente real o parte real del número complejo y b se conoce como componente imaginaria.
Esta es la forma cartesiana de un número complejo.
Queda entonces definida por sus componentes a y b.
Por ejemplo, un número complejo escrito de esta manera puede ser (2,3) es el par ordenado que tiene por parte real al número 2 y por parte imaginaria al número 3.
Así designaremos a sus partes… a las partes reales e imaginarias de un número complejo de esta manera, la parte real de Z será 2 y la parte imaginaria de Z en este ejemplo será 3.
Representaremos un número complejo en un plano que se llamará plano complejo.
El eje x horizontal se conoce como eje real y el eje vertical y se llamará eje imaginario.
Las componentes del par ordenado (a,b) se representarán en el eje real, la componente real y en el eje imaginario, la componente
imaginaria b.
Por ejemplo, este, si este fuera la recta real 1, 2, este sería el número complejo, es decir, si aquí tuviéramos 1, 2 la escala real y aquí 1, 2, 3, este podría ser el complejo Z igual a 2 de parte real y 3 de parte imaginaria.
Además, definiremos a lo que se llamará unidad imaginaria.
La unidad imaginaria será el par ordenado (0,1) de primera componente nula y segunda componente uno, que lo simbolizaremos como i.
Esto nos permitirá escribir a un número complejo en otras formas.
Además, definiremos la potencia de una unidad de imaginaria que serán elevar a exponentes a este número complejo.
Por ejemplo, definiremos como i a la cero al número uno, i a la uno al número i, i al cuadrado será menos uno, i al cubo será menos i.
Estas son las potencias de la unidad de imaginaria que nos permitirán resolver operaciones más adelante y a partir de allí, se comienzan a repetir, i a la cuarta vuelve a ser uno, i a la quinta vuelve a ser i, i a la sexta vuelve a ser uno y a la séptima vuelve a ser menos i, y así sucesivamente para todas las potencias de la unidad de imaginaria.
Definiremos entonces la forma binómica de un número complejo que contiene a la unidad de imaginaria como el complejo Z iguala a + bi.
Esta forma binómica de un número complejo nos permitirá realizar operaciones en este campo de los números complejos.
Así por ejemplo, el complejo que antes habíamos definido como Z igual a (2,3), ahora puede ser escrito en su forma binómica como Z igual a 2 + 3i, i representa o acompaña a la componente imaginaria de este número complejo y el número que no tiene i, representa la parte real: 2 + 3i será un número complejo de componentes real dos e imaginaria tres.
Además, definiremos lo que llamaremos complejos conjugados si tenemos un complejo Z iguala a + bi, su complejo conjugado se designará como Z conjugado con una línea arriba y será el complejo que se obtiene de cambiar el signo a la parte imaginaria.
Así por ejemplo, si tenemos el complejo Z igual a 2 - 2 i, su complejo conjugado será Z conjugado igual a 2 + 2i, es decir, cambiamos el signo a la parte imaginaria.
Si es negativo, pasa a ser positivo y si es positivo, pasa a ser negativo.
Estos números se conocen como complejo conjugados.
También definiremos a lo que llamaremos módulo de un número complejo.
Dado un complejo a + bi, su módulo se representará entre barra de módulo o mayor absoluto y se encontrará con la fórmula la raíz cuadrada positiva de la suma de los cuadrados de sus componentes real e imaginaria.
Así por ejemplo, si tenemos el número complejo Z igual a 2 + 2i, podemos encontrar su módulo aplicando la fórmula, resolveremos una raíz cuadrada de la primera componente 2 elevado al cuadrado, más la segunda componente 2, también elevado al cuadrado, en este caso.
Esto nos arrojará por resultado raíz de cuatro más más cuatro, que nos dará por resultado ocho, es decir, aproximadamente el valor 2,83 en decimales.
¿Qué representa el módulo de un número complejo?.
El módulo número complejo indica la longitud del vector que está asociado a él, que se representa… que se mide desde el origen del sistema de coordenadas hasta el punto de aplicación a + bi.
Esta distancia es el módulo del número complejo.
También, definiremos lo que llamaremos argumento de un número complejo.
Así, si tenemos al complejo Z Igual a a + bi, el argumento de Z se conoce como θ y el ángulo que forma este complejo con el semi eje positivo de las x, θ.
tendrá una expresión o se podrá encontrar con la fórmula arco tangente de b sobre a, siendo b la parte imaginaria y a la parte real.
Así si por ejemplo en el caso anterior 2 más 2i, buscamos el argumento de este número complejo diremos que será θ igual a el arco tangente de la parte imaginaria sobre la parte real sin la i compleja.
Esto es el arco tangente de uno, que da por resultado cuarenta y cinco grados, expresado en grados sexagésimales o π sobre cuatro, si lo expresamos en el sistema radián.
Es decir, que el ángulo que forma este número complejo 2 + 2i, que aquí está representado con el semi eje positivo de las x, es un ángulo de cuarenta y cinco grados.
Esto nos permitirá realizar operaciones con números complejos y nos permitirá también definir lo que llamaremos forma polar de un número complejo.
La forma polar de un número complejo consiste en escribir al número… al módulo del número complejo, y como subíndice indicar su argumento.
Este complejo que estábamos trabajando podrá ser escrito como el módulo raíz de ocho que lo hemos encontrado en el paso anterior y con subíndice π sobre cuatro, si lo representamos en el sistema radián.
Es decir, que esta es la forma polar del complejo 2 + 2i, escrito en forma binómica o escrito en esta nueva forma conocida como forma polar.
