Proyección Ortogonal
Hola, en este video vamos a ver qué es la proyección ortogonal.
Hemos visto que entre vectores podemos definir la proyección ortogonal por ejemplo, si tenemos a un vector v y lo queremos proyectar sobre un vector u, lo que estamos haciendo es encontrar de esta manera si proyectamos desde el afijo, es decir, del del extremo de v una línea recta hasta la línea de acción de u.
Aquí estamos obteniendo un vector que se llama vector proyección de v sobre u.
Este vector proyección entonces está contenido en la recta de acción de u.
Además, bueno sabemos que si imaginamos aquí un eje vertical podemos ver que v se puede proyectar de forma horizontal también sobre ese eje vertical y estaríamos entonces obteniendo en lo que podríamos llamar perpendicular de v sobre u.
Vamos a ver que v se puede descomponer entre estos dos vectores, entonces sabemos que v se puede escribir como la suma de su componente perpendicular más su componente horizontal, es decir, la vertical más la horizontal que a la horizontal la hemos llamado proyección de v sobre u.
Si de aquí despejamos esta componente perpendicular estaremos obteniendo v menos la proyección de v sobre u igual a la perpendicular de v sobre u, es decir, estamos obteniendo si restamos v menos la proyección estamos obteniendo esta, esta distancia que es la perpendicular de v a un que es la misma que está y se puede observar que también esta perpendicular también es ortogonal a u, es decir, si aquí imaginamos un vector perpendicular también será ortogonal a u.
La proyección de un vector sobre otro, si estamos hablando en R2, en vectores, se puede encontrar con esta… con esta fórmula u por v sobre u por u, por u.
Estos son productos escalares, este es un producto ordinario común entre un número y un vector.
Si u es un vector unitario, es decir, si la norma de u llega a ser uno, supongamos que aquí u que es el vector celeste, supongamos que mide uno.
Entonces esta fórmula queda más en sencilla si la escribimos proyección de v sobre u igual a… y este denominador se hará uno, de manera que quedará escrita como u por v por u manera más simple, si u tuviera un módulo uno.
Ahora si extendemos esta noción de R2 de vectores en R2 o R3 a un espacio general Rn, es decir, ahora queremos generalizar para un espacio vectorial estaremos diciendo que, supongamos que tenemos a W un subespacio, perdón, un subespacio de Rn y W está compuesto por estos vectores, es un
sistema formado por u1, u2, uk vectores.
Entonces cualquier vector v que pertenezca a Rn, su proyección ortogonal de ese vector v sobre W se podrá escribir de esta manera, es decir, estaremos encontrando la proyección de v, pero ahora de forma general sobre un subespacio no sobre otro vector, sino sobre un subespacio y se encontrará de la misma manera.
Multiplicaremos cada vector de W, u1, u2, uk por cada por v… v y v, es decir, proyectaremos v sobre cada uno de los vectores de W.
Esto es lo que se conoce como proyección ortogonal de v sobre un subespacio W.
Ahora si hubiésemos, si W hubiese sido una base ortonormal, es decir, si W ahora fuera ortonormal cada vector u1, u2, uk tuviera norma uno esto quedaría mucho más simple escrito con esta fórmula ya que se reduciría a esta expresión.
Los denominadores serían todos unos y esto es lo que se conoce como proyección de v sobre la base ortonormal W que será… que tomará esta forma.
Cuando estamos hablando… cuando estamos hablando de una proyección ortogonal es la proyección que nos brinda la mejor proyección en el sentido de la menor distancia que hay de v a W en ese caso.
Entonces ese vector proyección v sobre u, en este caso este vector.
Supongamos que u puede tomar cualquier tamaño, el vector de todos los posibles tamaños de u más chiquito o más grande, el proyección de v sobre u, va a ser el que esté más cerca afijo de v, es decir, u podría tomar por ejemplo este tamaño o tal vez este otro tamaño, etcétera.
Pero de todas las infinitas posibilidades la que va a estar más cerca de v va a ser el vector proyección de v sobre u.
Esto nos permitirá encontrar después… resolver problemas de aproximaciones porque el vector proyección de v sobre u va a ser el valor más cercano a v.
Entonces, estamos cuando proyectamos, esto es cuando lo proyectamos sobre un vector pero supongamos que lo queremos proyectar sobre un subespacio como la fórmula que di anteriormente.
Supongamos que el subespacio es W que aquí está representado como un plano para hablar de forma sencilla.
Estoy hablando de, supongamos que tengo por aquí un vectorcito v, cuando lo proyectó sobre mí subespacio en este caso es este planito W, estoy obteniendo por ejemplo está por proyección que la tengo que hacer más grande.
Estaré obteniendo tal vez esta proyección, proyección de v sobre W y esa proyección va a ser la mejor proyección, la mejor distancia que se puede obtener de v al subespacio W.
Si a esto lo vemos con un ejemplo, en este caso es un ejemplo resuelto.
Tenemos que encontrar la proyección ortogonal de un vector v, en este caso sobre un plano para trabajar con un espacio pequeño, el plano π que está formado por esta expresión y queremos encontrar, este es el vector v, la proyección de ese v sobre el plano π.
En primer lugar, tendremos que encontrar una base del subespacio W con la que podamos trabajar.
El subespacio… perdón, el subespacio π está expresado esta manera pero no puedo trabajar con esa forma genérica, necesito una base de ese subespacio.
Yo hice esos cálculos aquí Busqué una base de π que es esta que obtuve aquí que le voy a llamar B.
Obtuve esta base realizando los cálculos aquí y luego a esa base la tendremos que ortonormalizar, es decir, tendremos que buscar que sean, estos vectores sean perpendiculares entre sí y además que tengan módulo uno.
Bueno, yo ya realicé ese procedimiento y solamente copio aquí el resultado que es lo que me interesa.
Este procedimiento se puede realizar con el proceso de ortonormalización de Gram Schmidt que veremos en otro vídeo, pero obtuve esta base ortonormal que la voy a llamar también B.
Obtuve esta expresión y ahora veremos que sí quiero proyectar a B sobre π lo que tendré que hacer será multiplicar a mi vector v por cada vector de la base ortonormal.
Entonces aquí h3 multiplicado a B por el primer vector de la base y mediante un producto escalar y al resultado por un producto común, ordinario.
Luego el vector v por el otro vector de la base con un producto escalar y luego con un producto ordinario.
He realizado todos esos cálculos y obtuve como resultado final esta proyección, este es el vector proyección de v sobre el subespacio π de componentes: un séptimo, menos cuatro séptimos, menos dos séptimos.
Entonces esto nos va a permitir escribir a un vector con v cualquiera que pertenezca Rn en términos de una base ortonormal cualquiera.
Supongamos que tenemos una base ortonormal de vectores u1, u2, uk de Rn y un vector v cualquiera también de Rn.
Entonces podemos escribir a ese vector v en términos de esa base, de esta manera con la expresión que ya hemos visto y lo que estaré encontrando aquí serán las coordenadas de v en esa base B, las coordenadas del vector v en esa base B porque si observamos esto tiene la forma de una combinación lineal entre vectores donde estos son escalares.
Entonces podríamos pensar que estos son escalares α1, α2, αk.
Estos escalares estarán mostrando las coordenadas de este vector en esta base B que se puede escribir entonces a las coordenadas del vector v en la base ortonormal B como v por u1, v por u2 y así hasta llegar a v por uk.
Es decir, que estaré mirando a v pero en vez de mirarlo desde el cero, cero, cero lo estoy mirando desde el punto de vista de esta base B.
Me paro en esta base B y desde allí observó a mí de vector v y veo que tiene estas coordenadas.
Coordenadas de ese vector en esa base ortonormal.
Yo lo hice para el ejemplo anterior, resolví los escalares v por u1, v por u2 por separado y obtuve esta expresión.
Entonces estas son las coordenadas de ese vector, del vector del ejemplo anterior en la base ortonormal que encontramos.
