Matriz Invertible
Hola, en este video vamos a ver algunas características de las matrices invertibles.
En primer lugar, recordemos que una matriz inversa es aquella matriz A la menos uno que conmuta con una matriz dada A, es decir, puedo realizar el producto A por A a la menos uno y también conmutar, A a la menos uno por A y obtendré siempre el mismo resultado, la matriz identidad.
El procedimiento para encontrar una matriz inversa se conoce como método de Gauss Jordan y consiste adjuntar a la matriz A la matriz identidad y trabajar con operaciones elementales hasta obtener una matriz identidad en el primer espacio y la matriz resultante en el siguiente espacio, será la matriz inversa, A a la menos uno.
Es importante recordar que si no se logra obtener la identidad en este espacio, entonces la matriz A no tendrá inversa, es decir, no podré… la matriz que obtendré en este espacio no será la inversa de A, es importante tener la matriz identidad en este espacio.
Puede suceder en el procedimiento que yo obtenga los vectores canónicos, transformando por operaciones elementales, pero no en el orden de la matriz identidad.
En esos casos, podré conmutar filas o columnas, para obtener la matriz identidad, es decir, podré ordenar esos vectores canónicos hasta obtener la matriz identidad.
Los pivotes además, los pivotes que se toman para realizar el procedimiento de Gauss Jordan, no tienen que ser números que sean cero, de lo contrario, la matriz A no tendrá inversa, es decir, si no tengo otra opción que tomar un número cero o el pivote que debo tomar es un cero, me voy a dar cuenta que esa matriz A no será invertible.
Además, recordemos que una matriz A que se puede invertir será siempre una matriz cuadrada de orden n.
Esto es así para encontrar inversas de matrices, pero no para encontrar un rango.
El rango de una matriz es un operador que se aplica a una matriz,al igual que la matriz inversa, pero no exige que esa matriz sea cuadrada, es decir, para encontrar el rango puedo trabajar con matrices rectangulares también.
Además, una propiedad importante y que me permite verificar que la matriz inversa que obtengo es la correcta, es la propiedad que me dice que el producto en una matriz por su inversa tiene que dar por resultado la identidad.
Entonces en este caso, tengo una matriz A, como ejemplo y una matriz inversa.
Verificaremos que ambas matrices son inversa una de la otra, es decir, multiplicaremos A por la inversa de A.
Si realizo estos productos, recordemos que para multiplicar matrices tomo la primer matriz por filas
y a la segunda matriz por columnas y multiplico los elementos correspondientes y sumo esos productos, es decir, diré dos por dos cuatro y uno por menos tres menos tres.
El resultado de esa operación cuatro y menos tres, si lo sumo.
cuatro menos tres es uno, que lo coloco este espacio.
Procederé ahora a multiplicar esa misma fila pero ahora por esta otra columna y diré dos por menos uno y uno por dos.
Dos por menos uno es menos dos y uno por dos es dos y menos dos más dos da por resultado cero.
Si continuo ahora tomando la otra fila, tres dos por la fila dos tres, multiplico los elementos correspondientes tres por dos es seis y dos por menos tres es menos seis y menos seis más seis es cero.
Y por último por la última columna, tres por menos uno es menos tres y dos por dos es cuatro y menos tres más cuatro es uno.
Por lo que obtengo la matriz identidad.
Esta es una manera de verificar que las dos matrices dadas son inversas.
Además, las matrices inversas cumplen propiedades.
La primera es la propiedad involutiva, es decir, una matriz inversa y vuelta a invertir me dará siempre por resultado la misma matriz original A.
Esta otra propiedad, la inversa del producto de dos matrices es igual al producto de las inversas de las matrices, pero en orden inverso.
Es semejante a la propiedad de matrices transpuestas también para el producto.
Además, otra propiedad importante, la inversa de una matriz traspuesta, es lo mismo que trasponer la matriz y encontrar luego la inversa y una propiedad más, dado un valor k que pertenezca a los reales, es decir, un número constante k.
Si multiplico una matriz, por ejemplo, dos por una matriz A y al resultado lo invierto obtendré el mismo resultado que sí calculó el producto entre el inverso del número real, un medio, por la matriz inversa A a la menos uno.
Otra definición importante que observaremos es la matriz ortogonal.
Diremos que una matriz A siempre que sea cuadrada y se pueda invertir, es decir, tenga rango completo, rango n, diremos que es ortogonal, si y sólo si su matriz inversa coincide con su matriz traspuesta.
Dicho de otra manera, también diremos que A es una matriz ortogonal si y solo si realizo el producto entre la matriz y su traspuesta y obtengo por resultado la identidad.
Si lo verificamos con este ejemplo, veremos si esta matriz A es ortogonal, entonces la multiplicaré por su traspuesta, la transpuesta recordemos que se obtiene de intercambiar filas por columnas, por lo que colocaré un medio, menos raíz de tres sobre dos, raíz de tres sobre dos y un medio, y realizaré el producto entre estas dos matrices.
Esta es una opción, sino también puedo verificar haciendo la inversa y verificando si coincide con la transpuesta.
Si en este caso, multiplico primer elemento por primer elemento, un medio por un medio es uno y segundo elemento por segundo elemento, menos raíz de tres sobre dos, estoy realizando el producto un medio por un medio… perdón, que es un cuarto y menos raíz de tres sobre dos por menos raíz de tres sobre dos, menos por menos obtendré más raíz de tres al cuadrado sobre cuatro, un cuarto y tres cuartos y un cuarto más tres cuartos me da por resultado uno, es decir, que el primer elemento es uno.
Sigo con el producto ahora un medio por raíz de tres sobre dos me da por resultado, que lo escribiré aquí al lado raíz de tres sobre cuatro y menos raíz de tres sobre dos por un medio me da por resultado menos raíz de tres sobre cuatro.
Que estos valores, como son iguales y opuestos me dan por resultado cero.
Sí continuo, ahora realizo… paso a la segunda fila.
Raíz de tres sobre dos por un medio me dará por resultado, de manera semejante, raíz tres sobre cuatro y un medio por menos raíz de tres sobre dos me dará por resultado… me dará por resultado menos raíz de tres sobre cuatro y nuevamente se cancelan y obtengo por resultado cero.
Y para terminar, raíz de tres sobre dos por raíz de tres sobre dos nuevamente es tres sobre cuatro y un medio por un medio es un cuarto que me vuelve a dar igual que el mismo número, el primer número, uno, es decir que obtengo como resultado la matriz identidad, por lo que puedo decir que la matriz A es ortogonal.
Por último, las matrices inversas me permitirán resolver ecuaciones matriciales, es decir, ecuaciones que ahora involucren matrices.
Si por ejemplo, quiero despejar en esta ecuación matricial.
Tengo la matriz A, supongamos que la conocemos, está dada la matriz X, que es una matriz incógnita que intento conocer y la matriz B que también la conozco y supongamos que A se puede invertir.
El objetivo de una ecuación matricial es despejar una matriz, en este caso la matriz X.
¿Como puedo proceder para despejar una matriz en una ecuación?.
Si el elemento que necesito despejar es decir, la matriz A que quiero pasarla al segundo miembro está multiplicando, tendré que realizar un producto de la matriz por su inversa, es decir, multiplicaré a esta expresión A por X igual a B, multiplicaré por la matriz inversa A a la menos uno, en ambos miembros.
Dado que multiplicar en ambos miembros por la misma matriz no alterará la expresión.
Pero me permitirá en este producto A la menos uno por A, sabemos que por definición de matriz inversa es la matriz identidad, por X que me dará A a la menos uno por B.
Y como la matriz identidad es la unidad en el producto de matrices I por X, será igual a X, por lo que obtengo la matriz despejada, X se puede obtener haciendo la inversa de A por B.
Es importante notar que en este paso hemos pre multiplicado en ambos miembros por la inversa de A y es importante hacerlo siempre en ese mismo orden.
Si la matriz A que necesito despejar se encuentra a la izquierda, tendré que pre multiplicar en ambos miembros a la izquierda por su inversa.
Ya que recordemos, el producto de matrices no es conmutativo, no podré poner A la menos uno en este espacio, por ejemplo, porque no podré conmutar con la matriz X.