¿Qué es una Matriz?
Hola, este video vamos a ver qué son las matrices.
Las matrices en matemática son entes matemáticos que adquieren nuevos propiedades al igual que, por ejemplo, los números reales, las funciones, los polinomios.
Las matrices en particular, son arreglos rectangulares de números reales, es decir, son tablas ordenadas de números que cuentan con filas y con columnas.
A una matriz, que aquí vemos en rojo, las designaremos con letras mayúsculas de imprenta, generalmente A, B, C, etcétera.
Y a sus elementos, que están ubicados en filas y en columnas los designaremos con letras minúsculas de imprenta.
Así, esta matriz tiene, por ejemplo, esta fila que llama… esta perdón… esta columna que llamaremos columna uno.
Esta otra columna que representa a la columna dos, todos estos elementos y hasta llegar a una columna número n, es decir, que las columnas pueden ir desde uno hasta n, en general en una matriz y las filas son los elementos horizontales.
Tendremos la fila uno, la fila dos hasta llegar a una fila m cualquiera, es decir, que las matrices están ordenadas en m filas y n columnas.
Eso representa el orden de la matriz, es decir, el tamaño o dimensión, la cantidad de filas y columnas que tiene una matriz m por n.
En general, designaremos a cualquier fila con la letra i, donde i variará desde uno hasta m y a cualquier columna la designaremos con la letra j, donde j variará desde uno hasta n, es decir, i representan las filas y j, perdón, las columnas.
En total tendremos una matriz de m cantidad de filas y n cantidad de columnas.
Cada elemento de la matriz se indica con letras minúsculas de imprenta y con un subíndice se indica la fila y la columna a la que pertenece.
Así por ejemplo, este elemento am2 está ubicado en la fila m y en la columna dos, el primer elemento representa la fila, el segundo elemento indica la columna en que está ubicado ese elemento.
Por ejemplo, en esta matriz que tenemos A que tiene por elementos a tres, cuatro, menos uno, cero, ocho y menos tres.
Es una matriz de tamaño dos por tres, ya que tiene dos filas y tres columnas.
Por ejemplo, el elemento a12 es el elemento que está ubicado en la fila uno, columna dos.
En la fila uno, columna dos, tengo el elemento cuatro.
El elemento a12 es el cuatro en esta matriz A.
También el elemento por
ejemplo, a23 será el elemento que se encuentra ubicado en la fila dos, columna tres que en este ejemplo será el elemento menos tres Las matrices se pueden designar con letras mayúsculas de imprenta y sus elementos se encierran entre paréntesis o entre corchetes.
También las matrices pueden designarse en algunos casos especiales por una forma general de sus elementos, por ejemplo, aij o también entre corchetes [aij] que representan los elementos de una matriz.
Cuando el orden de la matriz sea… coincida la cantidad de fila con la cantidad de columnas, es decir, m sea igual a n diremos que la matriz es una matriz cuadrada.
Las matrices cuadradas serán de orden dos por dos, tres por tres, cuatro por cuatro, etcétera.
Es decir, en general diremos matrices de orden dos, tres, cuatro, etcétera.
Por ejemplo una matriz A dada por los elementos uno, tres, cero, dos, ocho, menos uno, menos uno, cero, cero es una matriz cuadrada de orden tres.
Hay matrices que se consideran especiales.
Por ejemplo, una matriz fila es una matriz que tiene una única fila, por ejemplo A igual a uno, dos, tres, ocho.
Es una matriz de orden uno por n, en este caso n vale cuatro, es decir, una matriz de orden uno por cuatro.
Una matriz columna es aquella matriz que tiene una sola columna por ejemplo B igual a dos, ocho, menos tres.
Es una matriz que tiene tres filas pero una sola columna.
Estas matrices filas y columnas en general se designan vectores o representan vectores.
Un matriz nula es una matriz cuyos elementos son todos números cero, por ejemplo, se designará generalmente con la letra N cero, cero y cero.
Entonces este es una matriz de orden dos por tres.
Tiene dos filas y tres columnas y sus elementos son todos números cero.
Una matriz opuesta de una matriz A será aquella matriz que se obtiene cambiando todos los signos en la matriz A.
Por ejemplo, si tengo una matriz A dos, menos tres, cuatro y ocho, su matriz opuesta que se designará como menos A será la matriz que resulta de cambiar todos los signos en los elementos de su matriz.
Y llamaremos matriz traspuesta a una matriz en la que se intercambian de orden las filas y las columnas.
Por ejemplo, si tengo una matriz C dada por uno, ocho, tres, menos siete, cero, uno.
La matriz traspuesta de esa matriz C que se puede designar Ct, elevado de la t, que se lee traspuesta, C traspuesta.
Otra también C prima es la matriz que se obtendrá de intercambiar las filas por las columnas.
En este caso, la columna uno, uno, ocho, tres pasa a ser fila uno, uno, ocho, tres y la columna dos, menos siete, cero, uno pasa a ser fila dos.
Esta es una matriz transpuesta de la matriz original.
También tenemos matrices especiales que son cuadradas.
Por ejemplo, una matriz diagonal es una matriz que en su diagonal principal tiene elementos cualesquiera y fuera de la diagonal principal tiene elementos todos nulos.
Por ejemplo, puedo escribir una matriz traspuesta… perdón, una matriz diagonal uno, tres, cinco y rellenar todos los otros elementos, los otros espacios con cero.
Esta es una matriz diagonal de orden tres.
Las matrices diagonales son cuadradas, todas estas matrices son cuadradas y llamamos diagonal principal a los elementos que están ubicados en las posiciones aii, es decir, cuando fila y columna coinciden: a11, a22, a33.
A esto conocemos como diagonal principal.
La matriz unidad o identidad es una matriz semejante a la matriz diagonal con la diferencia de que en la diagonal principal sólo encontraremos números uno.
Generalmente se la designa con la letra I será una matriz siempre cuadrada, puede ser de cualquier orden dos, tres, cuatro, etcétera.
En su diagonal principal contendrá todos unos y en los restantes espacios o lugares contendrá todos números ceros.
Esta es una matriz unidad o identidad que representa el uno o la unidad en la operaciones en matrices.
Una matriz también especial es la matriz simétrica.
Una matriz simétrica por ejemplo, la llamaremos S es aquella matriz cuadrada que tiene elementos cualesquiera diagonal el principal pero los restantes elementos que están en los mismos espacios reflejados a través de la diagonal principal son números iguales.
Por ejemplo, si arriba de la diagonal principal tengo los números menos uno, cero y menos catorce debajo de la diagonal principal en los espacios equivalentes tendré los mismos números menos uno, cero y menos catorce, es decir, reflejados a través de la diagonal principal.
Esto se conoce como matriz simétrica.
Y una matriz, además especial es la matriz triangular.
Una matriz triangular es aquella matriz, por ejemplo la podemos llamar T que en su diagonal principal tiene números cualesquiera, por ejemplo, uno, cero, tres y por encima o por debajo de la diagonal principal hay elementos que son cero.
Por ejemplo, si los elementos que son cero están por debajo de la diagonal principal y por encima tengo otros números, por ejemplo, dos, tres, cuatro.
Esta matriz se conoce como triangular superior.
En cambio, si escribo otra matriz por ejemplo R, donde coloco elementos menos uno, uno, uno, en su diagonal principal y escribo otros elementos debajo de la diagonal principal dos, tres, cuatro y el resto de los elementos son cero.
Es decir, en este caso por encima de la diagonal principal, esta matriz se conoce como triangular inferior.
Las matrices triangulares entonces pueden ser superiores e inferiores.
