Subespacios Vectoriales
Hola, en este video vamos a ver a qué llamaremos subespacio vectorial.
Si tenemos un espacio vectorial V que sabemos que cumple con los diez axiomas de espacio vectorial.
Nos interesa saber si dado un subconjunto que llamaremos S que está incluido dentro de V, S sigue siendo un espacio vectorial también.
Si S sigue siendo un espacio vectorial también se llamará subespacio vectorial, es decir, tenemos un conjunto V que sabemos que es espacio vectorial queremos saber si achicamos ese conjunto V, a un conjunto S con el que tiene elementos dentro de sí, tiene vectores.
Y si seguimos operando dentro de S bajo los operadores de suma entre vectores y producto de una escalar por un vector, los resultados siempre siguen cayendo dentro de S o puede haber casos donde el resultado caiga, se escape de S, es decir, caiga fuera de S.
Para saber eso, necesitamos saber si S es un espacio vectorial pero como estamos trabajando dentro de V que ya sabemos que es espacio vectorial.
Para saber si S es un espacio vectorial, es decir, subespacio vectorial de V, no tendremos que probar los diez axiomas sino que sólo bastará con que probemos estos cuatro axiomas.
Sabiendo que V es un espacio vectorial.
Entonces probaremos que S esté incluido dentro de V, también que S no sea un conjunto vacío, es decir, que sea distinto de… este símbolo significa conjunto vacío, es decir, con esto puedo probar fácilmente, por ejemplo, si el vector nulo, cero vector pertenece a S.
Comprobar que el cero, el nulo pertenece a S, ya estoy probando que S no es vacío, lo probaremos de esta manera.
También, el tercer axioma que S sea cerrado bajo la suma de vectores, es decir, si yo opero con dos vectores cualesquiera para todo u y todo v que pertenezcan a S, se tiene que verificar que u + v también pertenezca a ese conjunto S.
Esto tiene que suceder para todos los elementos de S.
Y también el último axioma, que S sea cerrado bajo el producto por escalares.
Cuando decimos cerrado nos referimos a la ley de composición interna, es decir, que operamos dos vectores dentro de S y la suma sigue cayendo
dentro de S.
Tomo un vector de S y otro más, los sumo y el resultado también cae dentro de S.
Que S sea cerrado bajo el producto por escalares estoy pidiendo que cuando opere α, un número real, por un vector cualquiera u, el resultado también pertenezca a S.
Estos cuatro axiomas serán suficientes para probar que un subconjunto dentro de un espacio vectorial es además, un espacio vectorial.
Las demás, los demás axiomas se heredan del espacio vectorial, es decir, no van a ser necesarios probarlos, solamente con estos cuatro bastará.
Si vemos un ejemplo.
Si vemos un ejemplo, dado un conjunto S queremos probar que es subespacio.
En este caso, el conjunto S está definido por todos los pares ordenados que pertenezcan a R2 y que cumplan esta condición, que cumplan que x es igual a 2y, es decir, los pares ordenados x, y tales que la primer componente es igual al doble de la segunda.
Por ejemplo, ¿Qué pares ordenados pertenecerán a este subconjunto?.
Bueno, por ejemplo, cuatro, dos la primer componente es igual al doble de la segunda, por ejemplo, seis, tres, etcétera.
Son pares ordenados, ejemplos que caerán dentro de S.
S es un subconjunto dentro de R2, es decir, R2 es un espacio vectorial que ya hemos definido y queremos saber si achicamos R2 a un conjunto S que verifique esta condición, sigue siendo un subespacio vectorial.
Entonces probaremos los axiomas.
El primer axioma sale por definición, probar que S esté incluido en el R2, lo obtenemos por definición, ya que S es parte de R2 con los pares ordenados que cumplan con esta condición.
La segunda condición que el par ordenado cero, cero pertenezca a S, lo podemos verificar si escribimos en la condición si el par ordenado cero, cero pertenece a S, cero tendrá que ser igual, la primer componente x, esto es x y esto es y, a dos por la segunda componente que también vale cero.
Como cero es igual a cero, diremos que se verifica las del segundo axioma, obtenemos una igualdad.
Entonces el par ordenado cero, cero también va a pertenecer, va a cumplir esta condición y va a estar dentro de S.
Si probamos el tercer axioma vamos a definir dos pares ordenados genéricos para probar, para cualquier punto de S, cualquier vector de S.
Podemos definir, por ejemplo a x, el vector de componentes x1, y1 y a un vector y de componentes x2, y2, por ejemplo, vector…vector x, vector y.
Si yo los opero con la suma opero x, vector x, más y vector, estoy operando x1, y1 más x2, y2.
Si sumo componente a componente en el vector, estoy sumando x1 + x2, para la primer componente y y1 + y2 para la segunda componente.
Esto tendrá que ser igual a: si es que cumple esta condición yo tendré que obtener que la primer componente sea igual al doble de la segunda, es decir, que x1 más...
perdón, x2 sea igual a dos veces y1 más y2.
Si es que esta suma de verdad pertenece al conjunto S.
Si esto… para verificar esto, esto es lo que tengo que llegar, puedo por ejemplo escribirá x, si x pertenece a este conjunto, el vector x, entonces el vector x se puede escribir como la primer componente tiene que ser el doble de y1 y para el vector y también la primer componente del vector y, perdón, es x2, tiene que ser igual al doble de y2.
Si en estas… en estas dos igualdades sumo miembro a miembro, sumo el primer miembro de la primera ecuación con el primer miembro de la segunda, x1 + x2 y sumo también los segundos miembros.
Estoy obteniendo 2 y1 + 2 y2 y si aquí opero sacando factor común dos, obtengo la expresión a la que quería llegar, que x1 + x2 es igual a el doble de y1 + y2, con lo que queda verificado el tercer axioma.
Y para el último axioma voy a probar que si tomamos el mismo vector x, definido como x1, y1, si x pertenece al conjunto S entonces la primer componente de x se tiene que poder escribir como ya dijimos como el doble de la segunda componente x1 tiene que ser el doble de y1.
Si en esta expresión multiplicamos miembro a miembro.
Si primero operamos α por el vector x, yo quiero demostrar que α por x1, y1 es igual a α por x1 y α y1, si opero entre producto de un escalar por un vector y aquí quiero decir que si de verdad este vector pertenece a S entonces la primer componente αx1 tiene que ser igual el doble de Aαy1, es decir, la segunda componente.
Esto es lo que quiero probar.
Si en esta expresión, en esta expresión opero miembro a miembro multiplicando ambos miembros por α que es una operación válida entre vectores.
Multiplico la primer componente, el primer miembro por α y multiplico el segundo miembro por α.
Si aquí conmuto, estoy obteniendo α por x1 es igual a, puedo conmutar estos dos números reales.
α esun número real y dos también dos.
α y1 y estoy llegando a esta expresión, a la misma expresión que debía probar.
Entonces con esto queda demostrado con estos cuatro axiomas que S es un subespacio vectorial.
