Operaciones con Matrices
Hola, en este video vamos a ver operaciones con matrices.
Las matrices se pueden operar entre ellas con operaciones comunes como la suma, la resta, la multiplicación, la multiplicación por un número real y la potencia, en algunos casos.
Tendremos en cuenta las condiciones para operar entre matrices.
Por ejemplo, si queremos realizar la operación suma entre estas dos matrices A + B, para poder sumarlas, las matrices deben tener el mismo orden.
Esta matriz A que observamos es de orden 2 x 2 y esta matriz B es de orden 2 x 3, es decir, tiene dos filas y tres columnas.
La multiplicación…, perdón, la suma en estas dos matrices A + B no se podrá realizar ya que no son del mismo orden y tampoco se podrán restar.
Para sumar y restar matrices es necesario, es un requisito, que sean del mismo orden.
Entonces, para poder operar en este ejemplo, modificaré esta matriz A, le agregaré una columna más, por ejemplo, menos uno, dos, de manera de poder sumarlas.
Entonces, de esta manera si son matrices del mismo orden 2 x 3 y 2 x 3, dos filas y tres columnas, por lo que se puede operar.
Para realizar la suma entre dos matrices A y B, lo que tendré que hacer es sumar sus elementos correspondientes.
En este caso, quiero sumar las matrices dos, menos uno, menos uno, cero, menos tres, dos más la matriz B tres, dos, siete, uno, dos y menos uno.
El resultado me dará otra matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtendrán de sumar sus elementos correspondientes.
Dos más tres me da por resultado cinco, menos uno más dos me da por resultado uno, menos uno más siete es seis, cero más uno es uno, menos tres más dos es menos uno y por último, dos menos uno es uno.
Por lo que la suma de estas dos matrices da por resultado esta matriz, una nueva matriz.
Ahora si quisiera restarlas A menos B, procederé de la misma manera.
Por ejemplo, para restar las matrices dos, menos uno, menos uno, cero, menos tres y dos nuevamente tienen que ser del mismo orden.
En este caso restaré los elementos correspondientes, así por ejemplo, restaré dos, menos tres que me da por resultado menos uno; menos uno, menos dos me da menos tres; menos uno, menos siete me da por resultado menos ocho; cero menos uno me da por resultado menos uno; menos tres, menos dos… menos dos me da por resultado menos cinco y por último, dos menos, menos uno se hace positivo y obtengo por resultado tres.
Éste será el resultado de restar a estas dos matrices.
Entonces, estas son las operaciones de suma y resta.
También puedo multiplicar a una matriz por un escalar, por ejemplo puedo realizar la operación dos por A.
Puedo multiplicar una matriz, a cualquier matriz por cualquier número real.
No tengo requisitos para realizar
esta operación.
Así, por ejemplo, estaré duplicando la matriz A dos, menos uno, menos uno, cero menos tres y dos.
Entonces, realizaré el producto del escalar del número real por cada una de las componentes de la matriz.
Dos por dos me dará cuatro, dos por menos uno me dará menos dos, dos por menos uno también me dará menos dos, dos por cero me da cero, dos por menos tres me dará por resultado menos seis y dos por dos me da cuatro.
Este es el resultado del producto de dos por la matriz A.
Se obtiene como observan matrices del mismo orden que las matrices originales.
Las matrices también se pueden multiplicar entre sí, es decir, puedo multiplicar dos matrices.
En este caso, el requisito tener en cuenta para multiplicar dos matrices es que la cantidad de columna de la primer matriz sea igual a la cantidad de filas de la segunda matriz.
Por ejemplo, multiplicaré una matriz 3 x 4 por una matriz 4 x 5.
En este caso, se cumple el requisito y los puedo multiplicar, la cantidad de columnas de la primer matriz coincide con la cantidad de filas de la segunda matriz, es decir, que podré realizar el producto entre estas dos matrices A por B.
Ese es el requisito que tenemos que tener en cuenta para poder realizar esta operación de producto entre matrices.
Además, tenemos que tener en cuenta que el resultado obtenido del producto entre las dos matrices, el resultado, será de orden A por B, de orden o tamaño, la cantidad de filas de la primer matriz, tres por la cantidad de columnas de la segunda matriz cinco, es decir, de tamaño 3 x 5.
En este caso, en este ejemplo, la matriz A es de orden 2 x 3 y la matriz B es de orden 2 x 2 por lo que este producto, de esta manera, no se podrá realizar.
Lo que haré será, nuevamente, modificar mi matriz en este caso, la matriz B o, consideraré mejor una matriz C modificada de la matriz B que tendrá por componentes o elementos tres, dos, uno, dos, cero y menos uno.
Para realizar el producto entre estas dos matrices A y C, C es de tamaño 3 x 2, por lo que se puede multiplicar por la matriz A, que es de tamaño 2 x 3, la cantidad de filas de A coincide con la cantidad de columnas de C.
Una regla práctica para realizar esta operaciones entre matrices es escribir en una cruz a las matrices que quiero multiplicar: tres, dos, uno, dos, cero, menos uno y acá está la matriz A.
Tengo las dos matrices A y C.
Para poder multiplicar las matrices, el resultado entre estas dos me dará una matriz de tamaño 2 x 2.
La cantidad de filas de A con la cantidad de columna de B.
El procedimiento consiste en tomar a la matriz A, la primera matriz, por filas y multiplicar a esa fila por cada una de las columnas de la segunda matriz.
En este caso procederé en primer lugar con la primer fila de A y la primera columna de C.
Multiplicaré los elementos correspondientes dos por tres, menos uno por uno, y menos dos por cero y sumaré esos productos, es decir, realizaré la operación dos por tres, menos uno por uno y menos dos por cero.
Esto me dará por resultado seis, menos uno, cinco y ese será el primer resultado en mi matriz final.
Repetiré el procedimiento, seguiré tomando la primera fila de A, pero ahora moveré o utilizaré la segunda columna de C.
En este caso, multiplicaré nuevamente los elementos correspondientes dos por dos me dará por resultado cuatro, menos uno por dos y menos dos por menos uno.
Obtendré dos por dos cuatro, menos dos me queda dos y en este espacio tengo menos dos por menos uno, es dos positivo, dos más dos me da cuatro.
Es decir, que el resultado de multiplicar la primer fila de A con la segunda columna de C me da por resultado cuatro.
Luego pasaré a la segunda columna de A.
En este caso, tengo los elementos cero, menos tres y uno y multiplicaré por la primer columna de C.
Lo haré mentalmente cero por tres, menos tres por una y uno por cero me dará por resultado menos tres.
Y procederé con la última columna de… fila, perdón, de A y última columna de C.
Multiplicaré cero por dos que me da cero, menos tres por dos que me da menos seis y uno por menos uno que me da menos uno, es decir, que tengo por resultado menos siete.
Esta será la matriz resultado A por C, una matriz de tamaño 2 x 2.
Es Importante entonces notar que el producto entre matrices no es conmutativo.
La multiplicación C por A en este caso, podremos realizarla, perdón, porque el tamaño de C es 3 x 2 y el tamaño de A es 2 x 3, pero obtendría una matriz resultado de tamaño 3 x 3, que será distinta y de orden mayor a la matriz que acabo de obtener realizando el producto A por C.
Otra de las operaciones que podemos realizar es la potencia entre matrices.
En condiciones especiales multiplicaremos una matriz por sí misma para obtener la potencia de su matriz, por ejemplo, A al cuadrado se puede resolver haciendo A por A y no es lo mismo que elevar cada elemento de A al cuadrado y si tuviera A al cubo tendré que realizar el producto de A por A por A.
Así por ejemplo, como voy a realizar un producto entre matrices tendré que tener en cuenta la consideración que tuve para producto entre matrices, por lo que sólo se podrán elevar a potencia matrices que sean cuadradas.
Esta matriz que es de tamaño 2 x 3, no la podré multiplicar por sí misma, ya que no cumplirá con el requisito de que la primer matriz, 2 x 3, tenga la misma cantidad de columnas que filas de la segunda.
Solamente podré realizar potencia de matrices cuando las matrices sean cuadradas.
En este caso tengo un ejemplo y voy a multiplicar estas dos matrices, es decir, estaré haciendo… Vamos a llamarlo, por ejemplo matrices B, estaré haciendo B al cuadrado, es decir, B por B.
Son matrices cuadradas y la voy a multiplicar por sí misma procederé realizando el producto uno por uno me dará por resultado uno, más cero por menos uno me dará por resultado uno.
Luego, procedo con la siguiente columna uno por cero, cero y cero por menos tres, cero.
Luego, paso a la siguiente fila menos uno por uno, es menos uno y menos tres por menos uno me da tres positivo, por lo que el resultado me queda dos positivo.
Y para terminar menos uno por cero me da por resultado cero y menos tres por menos tres es nueve positivo.
Este será el resultado de elevar B al cuadrado, como observan no tengo el mismo valor que si elevara cada elemento al cuadrado.
