Haz de Planos
Un haz de planos es un conjunto formado por infinitos planos que tienen una recta en común o que son paralelos entre sí.
De esta forma, pues bueno, básicamente podemos definir un haz de planos paralelo simplemente definiendo pues los coeficientes del plano como tal, de acuerdo y dejando una variable k en el valor de el coeficiente d, es decir, un haz de planos, supongamos que queremos hallar un haz de planos, de acuerdo, de los planos que son paralelos a… vamos a poner que son paralelos al plano π, definido por 2x +4 y + 3z + cinco igual a cero, de acuerdo.
Pues el conjunto de todos los planos paralelos a este plano π será el siguiente.
Sea 2x + 4y… lo copiamos todo igual, + 3 z y en lugar de un cinco más k, y esto igual a cero.
Este parámetro k, lo hemos sustituido por este valor de cinco, de manera que pues bueno, con esto lo que tenemos es definido este haz planos paralelos, de acuerdo, ya que cualquier valor que le demos a ese parámetro k definirá un plano que es paralelo a este
primer parámetro, o sea, este primer plan π.
Por otro lado, pues podemos determinar el haz de planos que es, pues bueno, que contienen a una recta π, o sea una recta r, de acuerdo, que tienen por eje esa recta… esa recta r.
Es como si nosotros tuvieramos una recta r, de acuerdo, y todos los planos que se pueden generar a partir de ella, vamos a llamarlo haz de planos de eje r, de acuerdo.
Y básicamente, pues bueno, si nosotros tenemos la recta r que está definida por sus ecuaciones implícitas, vale, supongamos que realmente nosotros tenemos la recta r definida de la siguiente manera.
Está definida por la intersección de dos planos, por así decirlo.
r es A x + B y, de acuerdo, + C z + D igual a cero.
Y también pues bueno, tiene dos ecuaciones implícitas, A prima x + B prima y +C prima z + D prima igual a cero, vale.
Estamos definiendo, como digo, este haz de planos de eje r, vale.
Entonces nosotros lo que bueno… si escribimos la ecuación, el haz de planos se definiría de la siguiente manera.
Simplemente tendríamos que hacer lo siguiente.
Escribir la ecuación… la primera ecuación implícita como tal y luego agregar un parámetro k para la segunda ecuación implícita.
Es decir, escribirlo de la siguiente manera.
El haz de planos sería el… sería el A x + By + C z +D y luego sumamos λ multiplicado por A prima x + B prima y + C prima z + D prima e igualamos a cero, de acuerdo.
Este sería el haz de planos que pues bueno, sería el conjunto de todos los planos que contienen a dicha recta, vale.
Simplemente pues bueno, si nosotros tenemos una recta como tal, sería sustituir… si definimos la siguiente recta por ver un ejemplo, a 2x + 3y -4z + 1 igual a cero y aquí la segunda ecuación implícita es -3x + 2y -1 igual a cero.
Pues, la ecuación de este haz de planos estaría definida por 2x + 3y -4z +1, lee sumamos un λ por - 3x +2y -1 e igualamos a cero y todos los valores que le debemos a λ, cada uno de los valores definirá un plano dentro de este haz de planos que tiene por eje esta rectar r que hemos definido aquí, vale.
Entonces estas serían las dos opciones de haz de planos que comentábamos y cómo de alguna forma, pues podemos escribir estos haces de planos, vale, que son en el conjunto de los generados por… de planos paralelos de planos que están… que contienen a esa recta.
